TÜREV ALMA KURALLARI, TÜREV ALMA, TÜREV ALMA LYS MATEMATİK, LYS MATEMATİK TÜREV ALMA, TÜREV, TÜREV ALMA LYS,TÜREV KONU ANLATIMI,
..1. Türevin Tanımı 1
a, b birer reel sayı olmak üzere,
fonksiyonu verilmiş olsun.
limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.
Ve f '(x0), Df(x0) ya da
ile gösterilir. Buna göre,
x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,
eşitliği de yazılabilir.
2. Türevin Tanımı 2
fonksiyonu için,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.
Sonuç
1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.
2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.
3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.
4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.
Uyarı
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.
TÜREV ALMA KURALLARI
1. xn nin Türevi
2. c Sabit Sayısının Türevi
3. c × f(x) in Türevi
4. Toplamın Türevi
5. Farkın Türevi
6. Çarpımın Türevi
7. Bölümün Türevi
Sonuç
8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
verilsin. 
olmak üzere,
f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.
Sonuç
Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.
Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.
9. ışaret Fonksiyonunun Türevi
10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi
11. Bileşke Fonksiyonun Türevi
Uyarı
f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.
f '(2) ¹ [f(2)]' dir.
Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x) in x = 2 için değeridir.
[f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır.
Kural
12. Köklü Fonksiyonun Türevi
Kural
13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi
Kural
14. Üstel Fonksiyonun Türevi
Kural
15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi
fonksiyonu 
şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere
y = g(t)
x = h(t)
denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.
Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.
Bu durumda,
y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.
16. Kapalı Fonksiyonların Türevi
F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.
Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:
17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
18. Ardışık Türevler
y = f(x) in türevi
olmak üzere,
f'(x) in türevi olan
ifadesine
y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.
Benzer şekilde,
ifadesine de y = f(x) in n.
mertebeden türevi denir.
Kural
19. Ters Fonksiyonların Türevi
f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.
Kural
Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.
TÜREVıN ANLAMI
A. TÜREVıN FıZıKSEL ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,
fonksiyonu ile verilsin.
Hareketlinin t anındaki hızı:
ve t anındaki ivmesi
olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.
B. TÜREVıN GEOMETRıK ANLAMI
y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:
m = tana dır.
Kural
y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi
A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.
f'(x0) = m = tana dır.
Kural
Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,
olur.
Kural
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:
Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,
C. ARTAN ve AZALAN FONKSıYONLAR
1. Artan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.
2. Azalan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.
Uyarı
Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
3. Sabit Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.
D. EKSTREMUM DEğERLER ve BUNLARIN TÜREVLE ıLışKıSı
1. Ekstremum Noktalar
bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.
Her x Î (a, b) için,
olacak şekilde bir
p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.
Her x Î A için,
olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.
bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.
Her x Î (a, b) için,
olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.
Her x Î A için,
olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.
Tanım
Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.
Kural
Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.
2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
h > 0 olmak üzere,
ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.
h > 0 olmak üzere,
ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.
Yerel minimum değer, f(x0) dır.
Uyarı
Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.
Sonuç
Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.
Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.
3. ıkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
Kural
ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.
Kural
ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.
E. ıKıNCı TÜREVıN GEOMETRıK ANLAMI
1. Konveks Eğriler
f, [a, b] aralığından
ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
[a, b] aralığında f ''(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.
2. Konkav Eğriler
f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
a, b] aralığında f ''(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.
3. Dönüm (büküm) Noktası
f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.
Uyarı
x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.
x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.
x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.
Uyarı
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.
1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f '(x) < 0 dır.
2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f '(x) > 0 dır.
3. a < x < c için f ''(x) > 0 dır.
4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f '(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.
5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f ''(c) = 0 dır.
..1. Türevin Tanımı 1
a, b birer reel sayı olmak üzere,
fonksiyonu verilmiş olsun.limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.
Ve f '(x0), Df(x0) ya da
ile gösterilir. Buna göre,x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,
eşitliği de yazılabilir.
2. Türevin Tanımı 2
fonksiyonu için,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.
Sonuç
1. f '(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.
2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.
3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.
4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.
Uyarı
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.
TÜREV ALMA KURALLARI
1. xn nin Türevi
2. c Sabit Sayısının Türevi
3. c × f(x) in Türevi
4. Toplamın Türevi
5. Farkın Türevi
6. Çarpımın Türevi
7. Bölümün Türevi
Sonuç
8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
verilsin. olmak üzere,f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.
Sonuç
Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.
Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.
9. ışaret Fonksiyonunun Türevi
10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi
11. Bileşke Fonksiyonun Türevi
Uyarı
f '(2) gösterimi [f(2)]' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.
f '(2) ¹ [f(2)]' dir.
Çünkü f '(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f '(x) in x = 2 için değeridir.
[f(2)]' gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]' = 0 dır.
Kural
12. Köklü Fonksiyonun Türevi
Kural
13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi
Kural
14. Üstel Fonksiyonun Türevi
Kural
15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi
fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzerey = g(t)
x = h(t)
denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.
Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.
Bu durumda,
y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.
16. Kapalı Fonksiyonların Türevi
F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.
Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:
17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
18. Ardışık Türevler
y = f(x) in türevi
olmak üzere,f'(x) in türevi olan
ifadesiney = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.
Benzer şekilde,
ifadesine de y = f(x) in n.mertebeden türevi denir.
Kural
19. Ters Fonksiyonların Türevi
f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.
Kural
Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.
TÜREVıN ANLAMI
A. TÜREVıN FıZıKSEL ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,
fonksiyonu ile verilsin.
Hareketlinin t anındaki hızı:
ve t anındaki ivmesi
olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.
B. TÜREVıN GEOMETRıK ANLAMI
y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:
m = tana dır.
Kural
y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi
A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.
f'(x0) = m = tana dır.
Kural
Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,
olur.
Kural
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:
Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,
C. ARTAN ve AZALAN FONKSıYONLAR
1. Artan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.
2. Azalan Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.
Uyarı
Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
3. Sabit Fonksiyon
bir fonksiyon olsun.Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.
D. EKSTREMUM DEğERLER ve BUNLARIN TÜREVLE ıLışKıSı
1. Ekstremum Noktalar
bir fonksiyon vea, b Î A olsun.
Her x Î (a, b) için,
olacak şekilde bir
p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.
Her x Î A için,
olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.
bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.Her x Î (a, b) için,
olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.
Her x Î A için,
olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.
Tanım
Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.
Kural
Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.
2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
h > 0 olmak üzere,
ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.
h > 0 olmak üzere,
ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.
Yerel minimum değer, f(x0) dır.
Uyarı
Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.
Sonuç
Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.
Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.
3. ıkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
Kural
ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.
Kural
ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.
E. ıKıNCı TÜREVıN GEOMETRıK ANLAMI
1. Konveks Eğriler
f, [a, b] aralığından
ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.[a, b] aralığında f ''(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.
2. Konkav Eğriler
f, [a, b] aralığından
ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.a, b] aralığında f ''(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.
3. Dönüm (büküm) Noktası
f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.
Uyarı
x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.
x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.
x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.
Uyarı
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.
1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f '(x) < 0 dır.
2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f '(x) > 0 dır.
3. a < x < c için f ''(x) > 0 dır.
4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f '(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.
5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f ''(c) = 0 dır.